1. 对变化建模

1.1 比例性

变量 x,y 互成比例，可以建模为

例如： 弹簧系统

1.2 差分方程

两个时间段的值的差值等于上一刻值的线性或者非线性函数，表示变化量大小

例子：

1. 储蓄
   a_{n+1}-a_n=0.01a_n
   0.01 为年化收益
2. 贷款
   a_{n+1}-a_n=0.01a_n-100
   0.01 为每年利息比率， 100 每年还款数
3. 生物种群生长
   a_{n+1}-a_n=a_n(300-a_n)
   种群在 a_0 开始增长，增长到 300 时增长率为 0

1.3 动力系统

这一个时间刻的值为上一时间刻的倍数

当 |r|>1 时发散（长期行为为稳定平衡点）；
|r|=1 时看情况（长期行为为不稳定平衡点，为直线）；
|r|<1 时收敛（长期行为为不稳定平衡点）
当 n\to\infty 时，如果 |r|<1 ，

当 r\neq1

例子：

1. 储蓄
   a_{n+1}=1.01a_n
   0.01 为年化收益
2. 贷款
   a_{n+1}=1.01a_n-100
   0.01 为每年利息比率， 100 每年还款数
   非线性方程组：

1.4 差分方程组

设 O_{n+1} 为 O_n,T_n 的线性表达式， T_{n+1} 同理

要找到他们的平衡点，即让 O_{n+1}=O_{n},T_{n+1}=T_{n} ，得

然后就能解得 O,T 之间的关系了
当然，也有非线性的差分方程组，也是一样的，把 n 去掉，然后让他们全相等就能求解

2. 模型拟合

2.1 切比雪夫近似准则

我们有一组参数 \{x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n\},\{y_1,\cdots,y_i,\cdots,y_n\} ，以及一个拟合函数 f(x) ，我们要使得最大偏差最小，即

用线性规划算法求解

2.2 极小化绝对偏差之和

2.3 最小二乘法

我们希望有一组参数，能够使得 \mathbf{X}\mathbf{a} 与 \mathbf{b} 距离最近
其中 \mathbf{X}, \mathbf{b} 是给出的量， \mathbf{a} 是要求的量
它的算法是 \mathbf{X}\mathbf{a}-\mathbf{b} 向量与 \mathbf{X} 每一列向量正交，令 \mathbf{X}=[\mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_j,\cdots,\mathbf{x}_n]，即

整合得到

3. 实验建模

找到合适的曲线，去拟合数据

3.1 单项式

3.2 高阶多项式

找到 a_j 参数，使得 y_i 与 x_i 能相等，然后中间插上合理的值

3.2.1 拉格朗日多项式

当有 \{x_1,x_2,x_3,x_4\}, \{y_1,y_2,y_3,y_4\} 考虑三次多项式

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