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Fourier变换
文章摘要
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1. Fourier变换
1.1 Fourier正变换
若函数f(t)在(-\infty,+\infty) 上满足Fourier条件，则称
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm d t
为Fourier变换，记为象函数
F(\omega)=\mathscr F\left[f(t)\right]
[!info]
f(t)要满足Fourier定理
若函数f(t)在(-\infty,+\infty) 上满足：
- f(t)在任一有限区间满足狄利克雷条件
- 在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点
- 在一个周期内至多只有有限个极值点
- f(t)在无限区间(-\infty,+\infty)上绝对可积（即积分\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm d t收敛）
则有f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm d\tau \right] e^{j\omega t}\mathrm d\omega其中间断点
f(t)=\frac{\lim_{x\to t^{-}}f(x)+\lim_{x\to t^{+}}f(x)}{2}
1.2 Fourier逆变换
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\mathrm d\omega
为F(w)的Fourier逆变换，记为原像函数
f(t)=\mathscr F^{-1}\left[F(\omega)\right]
2. \delta-函数的Fourier变换
2.1 \delta-函数的Fourier正变换
\delta-函数的定义在[[单位脉冲函数]]
\delta-函数的Fourier变换为
F(\omega)=\mathscr F\left[\delta(t-t_0)\right]
=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)e^{-j\omega t}\mathrm dt
=e^{-j\omega t_0}
当t_0=0时，F(\omega)=1
2.2 \delta-函数的Fourier逆变换
若F(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0) ，则有
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}
2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}\mathrm d\omega
=e^{j\omega_0t}
而
F(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0)=
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j(\omega-\omega_0)t}\mathrm dt
3. Fourier变换性质
3.1 线性性质
设F_1(\omega)=\mathscr F\left[f_1(t)\right], F_2(\omega)=\mathscr F\left[f_2(t)\right]，\alpha,\beta 为常数 ，则
\mathscr F\left[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)\right]
=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)
\mathscr F^{-1}\left[\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\right]
=\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)
3.2 位移性质
3.2.1 正变换
\mathscr F\left[f(t\pm t_0)\right]
=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t\pm t_0)e^{-j\omega t}\mathrm d t
令u=t\pm t_0，则有
\begin{aligned}
\mathscr F\left[f(t\pm t_0)\right]
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-j\omega (u\mp t_0)}\mathrm d u\\
&=e^{\pm j\omega t_0}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-j\omega u}\mathrm d u\\
&=e^{\pm j\omega t_0}\mathscr F\left[f(t)\right]
\end{aligned}
3.2.2 逆变换
逆变换与正变换有相似之处，所以不证了
\mathscr F^{-1}\left[F(\omega\mp\omega_0)\right]
=e^{\pm j\omega_0 t}f(t)
3.3 微分性质
\begin{aligned}
\mathscr F\left[{f}'(t)\right]
&=\int_{-\infty}^{+\infty}{f}'(t)e^{-j\omega t}\mathrm d t\\
&=\left.f(t)e^{-j\omega t}\right|_{-\infty}^{+\infty}
+j\omega\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm d t\\
&=0+j\omega\mathscr F\left[f(t)\right]\\
&=j\omega\mathscr F\left[f(t)\right]
\end{aligned}
[!info] 推论
\mathscr F\left[f^{(n)}(t)\right] =(j\omega)^n\mathscr F\left[f(t)\right]
同样，我们还能得到另一个公式
\begin{aligned}
\mathscr F^{-1}\left[{F}'(\omega)\right]
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F}'(\omega)e^{j\omega t}\mathrm d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\left(\left.F(\omega)e^{j\omega t}\right|_{-\infty}^{+\infty}-jt\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\mathrm d\omega\right)\\
&=-jt\mathscr F^{-1}\left[F(\omega)\right]
\end{aligned}
两边同时取Fourier变换，得到
\begin{aligned}
{F}'(\omega)
&=\mathscr F\left[-jtF^{-1}\left[F(\omega)\right]\right]\\
&=-j\mathscr F\left[tf(t)\right]
\end{aligned}
[!info] 推论
F^{(n)}(\omega)=(-j)^n\mathscr F\left[t^nf(t)\right]\mathscr F\left[t^nf(t)\right]=j^nF^{(n)}(\omega)
3.4 积分性质
我们知道Fourier的微分性质，所以它的积分性质与微分性质反过来的
我们可以把f(t)当作\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm dt的导数，则可以得到
\mathscr F\left[f(t)\right]=j\omega\mathscr F\left[\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm dt\right]
变换得到
\mathscr F\left[\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm dt\right]=\frac{1}{j\omega}\mathscr F\left[f(t)\right]
[!info] 推论
\mathscr F\left[\underbrace{\int_{-\infty}^t\dots\int_{-\infty}^t}_{n} f(t)\mathrm dt\right]=\frac{1}{(j\omega)^n}\mathscr F\left[f(t)\right]
3.5 Fourier的卷积定理
卷积定义：[[卷积与相关函数]]
假定f_1(t),f_2(t)都满足Fourier积分定理中的条件，且F_1(\omega)=\mathscr F\left[f_1(t)\right], F_2(\omega)=\mathscr F\left[f_2(t)\right]，则
\mathscr F\left[f_1(t)*f_2(t)\right]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)
或
\mathscr F^{-1}\left[F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\right]=f_1(t)*f_2(t)
同理可得
\mathscr F^{-1}\left[F_1(\omega)*F_2(\omega)\right]=2\pi \cdot f_1(t)\cdot f_2(t)
或
\mathscr F\left[f_1(t)\cdot f_2(t)\right]=\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)