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Laplace变换
文章摘要
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Laplace变换
有些函数不满足在(-\infty,+\infty)上绝对可积的性质，导致无法使用Fourier变换；
有些函数只有在[0,+\infty)上有定义，或者说函数在(-\infty,0)恒为0，不需要考虑负区间。
所以Fourier变换的条件要求还是太过于严格，所以需要引入Laplace变换
1. Laplace变换定义
1.1 Fourier变换转换为Laplace变换
设函数 \varphi(t) ，但是不满足在 (-\infty,+\infty) 上绝对可积的性质，那么我们使用单位阶跃函数 u(t) 以及指数衰减函数 e^{-\beta t}, (\beta>0) 把 \varphi(t) 转换为Fourier能够变换的形式
[!tip] 提示
单位阶跃函数定义：[[单位脉冲函数]]
Fourier变换：[[傅里叶变换]]
设f(t)，则有
f(t)=\varphi(t)u(t)e^{-\beta t}, t\in(0,+\infty),\beta>0
此时对 f(t) 来说就满足Fourier积分性质了
\begin{aligned}
\mathscr F\left[f(t)\right]
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)u(t)e^{-\beta t}e^{-j\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)e^{-\beta t}e^{-j\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)e^{-(\beta+j\omega) t}\mathrm dt\\
\end{aligned}
令 s=\beta+j\omega ，则
\mathscr F\left[f(t)\right]
=\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)e^{-st}\mathrm dt
这样就能够成功使用Fourier变换了，这就是Laplace变换
\mathscr L\left[f(t)\right]=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt
1.2 Laplace变换与逆变换
由上可知，Laplace变换定义为
\mathscr L\left[f(t)\right]=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt
令 F(s)=\mathscr L\left[f(t)\right] ，则Laplace逆变换定义为
f(t)=\mathscr L^{-1}\left[F(s)\right]
[!info] Laplace存在定理
若函数f(t)满足下列条件：
- 在t\geq 0的任一有限区间上连续或分段连续
- 当t\to+\infty时，f(t)增长速度不超过某一个指数函数，即存在|f(t)|\leq Me^{ct}, t\in[0,+\infty)
则Laplace变换F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt在半平面Re(s)>c上一定存在
2. Laplace变换常用公式
2.1 阶跃函数 u(t) 的Laplace变换
\begin{aligned}
\mathscr L\left[u(t)\right]
&=\int_{0}^{+\infty}e^{-st}\mathrm dt\\
&=-\left.\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{0}^{+\infty}\\
&=\frac{1}{s}\quad(Re(s)>0)
\end{aligned}
2.2 e^{kt} 的Laplace变换
\begin{aligned}
\mathscr L\left[e^{kt}\right]
&=\int_{0}^{+\infty}e^{kt}e^{-st}\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{+\infty}e^{-(s-k)t}\mathrm dt\\
&=-\left.\frac{1}{s-k}e^{-(s-k)t}\right|_{0}^{+\infty}\\
&=\frac{1}{s-k}\quad(Re(s)>k)
\end{aligned}
2.3 \sin(kt) 和 \cos(kt) 的Laplace变换
\begin{aligned}
\mathscr L\left[\sin(kt)\right]
&=\int_{0}^{+\infty}\sin(kt)e^{-st}\mathrm dt\\
&=-\left.\frac{1}{k}\cos(kt)e^{-st}\right|_0^{+\infty}
-\frac{s}{k}\int_{0}^{+\infty}\cos(kt)e^{-st}\mathrm dt\\
&=\frac{1}{k}-\frac{s}{k}\left[
\left.\frac{1}{k}\sin(kt)e^{-st}\right|_0^{+\infty}
+s\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{k}\sin(kt)e^{-st}\mathrm dt
\right]\\
&=\frac{1}{k}-\frac{s^2}{k^2}\int_{0}^{+\infty}\sin(kt)e^{-st}\mathrm dt
\end{aligned}
变换得
\mathscr L\left[\sin(kt)\right]=\frac{k}{s^2+k^2}\quad(Re(s)>0)
同理可得
\mathscr L\left[\cos(kt)\right]=\frac{s}{s^2+k^2}\quad(Re(s)>0)
2.4 t^m 的Laplace变换
不证，太麻烦了（不是）
\mathscr L\left[t^m\right]=\frac{\Gamma(m+1)}{s^{m+1}}\quad(Re(s)>0)
其中
\Gamma(m+1)=\int_0^{+\infty}t^{m}e^{-t}\mathrm dt
如果 m\in Z^+ ，则
\Gamma(m+1)=m!
\mathscr L\left[t^m\right]=\frac{m!}{s^{m+1}}\quad(Re(s)>0)